Carnets personnalisés

Floriane fabrique des carnets personnalisés qu'elle vend en ligne. Elle souhaite déterminer combien de carnets elle doit produire pour minimiser son coût de production.

Le coût de production, en euro, est modélisé par la fonction : \(C(x) = 3x^2-24x+150\) définie sur l'intervalle \([0\,;50]\), où `x` représente le nombre de carnets produits.

1. Que représente la fonction \(C(x)\) ? Que représente la variable \(x\) ?

2. Calculer le coût de production pour 10 carnets produits puis pour 30 carnets produits. 

3. Calculer \(C'\) la dérivée de la fonction \(C\).

4. Résoudre l'équation \(C'(x) = 0\).

5. Dresser le tableau de signes de la fonction dérivée \(C'\).

6. En déduire les variations de la fonction \(C\).

7. La fonction \(C\) admet-elle un minimum ou un maximum ? Préciser sa valeur.

8. En déduire le nombre de carnets à produire pour que le coût de production soit minimal. Indiquer le coût correspondant.